相続人全員が相続放棄をした、あるいは法定相続人となる親族が存在せず遺言もない場合、相続財産清算人の選任が必要です。相続放棄によって遺産を相続することはなくなりますが、一定の場合は遺産の管理義務が無くなるわけではありません。相続財産清算人が選任されたら財産を引き渡すことができるので財産管理義務がなくなります。
相続人が不存在で遺言書もない、または遺言書があっても一部の遺産についてしか書いておらず遺産が残る場合、遺産は最終的に国庫に帰属します。最終的に国庫に帰属されるとしても放っておけばよいのではなく、「被相続人に相続人がいない」ということを法的に成立させ、被相続人の財産と借金を精算し、最終的に残った遺産が国庫に帰属されます。
被相続人の相続財産に不動産が含まれている場合は相続登記をすることになりますが、登記官が相続登記の審査をする際に相続放棄した者がいるのかどうか不明ですから、通常の書類に加えて「相続放棄申述受理証明書」（「相続放棄申述受理通知書」での代用はできませんので注意が必要です。）を提出する必要があります。